O significado de uma fração

      Algumas vezes,  é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de ?

    Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma oualgumas, conforme nosso interesse.

    Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

    

    Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

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Curiosidades sobre a divisão

Quando dividimos um número por um número decimal menor que 1 (parte inteira igual a zero), o queociente (resultado da divisão) é sempre um número maior que o dividendo.

Isso ocorre porque estamos dividindo o todo em partes menores que 1 inteiro, ficando assim com mais partes do que tínhamos anteriormente.

Exemplo:

2 : 0,11 = 18,1818...

Isto quer dizer que dividimos o número 2 em 18,18 partes.

Fácil, não é mesmo?

Calcular m.d.c.

Como calcular o Máximo Divisor Comum (mdc) utilizando o algoritmo de Euclides.

Para calcular o m.d.c. de 348 e 156, siga os passos abaixo:

1) Coloque o número maior no 1º retângulo dos divisores/dividendos, o menor número no 2º, conforme indicado abaixo.

quociente
divisores/dividendos	348	156
resto

2) Divida os dois números (o maior pelo menor) e coloque o resultado sobre no retângulo acima do número menor e o resto abaixo do número maior.

quociente		2
divisores/dividendos	348	156
resto	36

3) Se o resto for diferente de zero, como neste exemplo, coloque o resto no 3º retângulo na linha dos divisores/dividendos, no lado direito do número menor (neste exemplo, 156).

quociente		2
divisores/dividendos	348	156	36
resto	36

4) Agora divida o número menor (156) pelo resto (36) e refaça as anotações de quociente e resto, como no passo 2.

quociente		2	4
divisores/dividendos	348	156	36
resto	36	12

5) Como o resto ainda é diferente de zero, repita o passo 3, escrevendo o resto ao lado do último número utilizado como divisor (36) e refaça o passo 4.

quociente		2	4	3
divisores/dividendos	348	156	36	12
resto	36	12	0

Chegamos ao final. O resto agora é zero, então o m.d.c. entre 348 e 156 é 12.

Representamos da seguinte maneira: mdc(348,156) = 12

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos:

m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:

mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
* fatores primos comuns, são aqueles que se repetem na decomposição

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3

Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)
18 / 12 = 1 (com resto 6)
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.

Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.

Filmes X Matemática

Vários filmes trazem a Matemática como temática. Seguem alguns deles:

• Quebrando a banca” (EUA, 2008), de Robert Luketic.
• "A Prova" (EUA, 2005), de John Madden.
• "Uma Mente Brilhante" (EUA, 2005), de Ron Howard.
• “Enigma” (EUA, 2001), de Michael Apted.
• “Pi” (EUA, 1988), de Darren Aronofsky.
• “Gênio Indomável” (EUA, 1997), de Gus Van Sant.
• “Cubo” (Canadá, 1997), de Vincenzo Natali.